1. Ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, la velocidad y la elevación, y es válida en regiones de flujo estacionario e incompresible en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables. Pese a su simplicidad, la ecuación de Bernoulli que es un instrumento muy potente en mecánica de fluidos.
La aproximación clave en la deducción de la ecuación de Bernoulli es que los efectos viscosos son despreciables pequeños en comparación con los efectos de:
* Inercia * Gravitacionales * Presión
Debe tenerse cuidado cuando se utiliza la ecuación de Bernoulli, porque es una aproximación que sólo se aplica a las regiones no viscosas del flujo. En general, los efectos viscosos de la fricción siempre son importantes muy cerca de las paredes sólidas (capas limite) y directamente corriente abajo de los cuerpos (estelas). Por lo tanto, la aproximación de la ecuación de Bernoulli es útil por lo general en regiones del flujo por fuera de las capas límite y estelas, en donde el movimiento del fluido lo rigen los efectos combinados de la presión y la gravedad.
El movimiento de una partícula y la trayectoria que sigue se describen por el vector velocidad, como función del tiempo y de las coordenadas espaciales, así como de la posición inicial de la partícula. Cuando el flujo es estacionario, todas las partículas que pasan por el mismo punto siguen la misma trayectoria y los vectores de velocidad permanecen tangentes a la trayectoria en todo punto.
Deducción de la ecuación de la ecuación de Bernoulli a partir de la Segunda ley de Newton
Se destaca la importancia de la ecuación de Bernoulli en el análisis de la cantidad de movimiento debido a su relación con la ecuación del momento lineal o segunda ley de Newton, ya que a partir de esta última se puede realizar una generalización o deducción de la ec. de Bernoulli.
Para su deducción se considera una partícula de fluido en un flujo estacionario (ver Figura 1.1), y cuando se aplica la segunda ley de Newton en la dirección s, sobre una partícula en movimiento a lo largo de una línea de corriente (corresponde al análisis del movimiento Lagrangiano), se obtiene la siguiente expresión:
Donde: Fs= Fuerza en dirección "s" m=masa as= aceleración en dirección "s"
Esta ecuación aplica en regiones del flujo en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables, las fuerzas significativas que actúan en la dirección s son la presión (que actúa sobre ambos lados) y la componente del peso de la partícula en la dirección s.
- Para un flujo estacionario a lo largo de una línea de corriente.
A partir de esa ecuación inicial se puede obtiene una expresión que aplica cuando se analizan problemas en flujo estacionario, dando como resultado:
Donde:
- dP= diferencial de presión
- p= densidad
- V= velocidad
- g= constante gravitacional (9.81 m/s^2)
- z=Longitud
- Para un flujo estacionario e incompresible en un punto.
Mientras que para el caso del flujo incompresible en estado estacionario, el primer término de la ecuación anterior también se convierte en una diferencial exacta y de su integración se obtiene:
Ésta ecuación es de uso común en mecánica de fluidos para el flujo estacionario e incompresible, a lo largo de una línea de corriente, en las regiones no viscosas del flujo. El valor de la constante puede ser evaluada en cualquier punto de la línea de corriente en donde se conozcan la presión, densidad, velocidad y elevación.
- Para un flujo estacionario e incompresible entre dos puntos cualesquiera.
La ecuación de Bernoulli también puede escribirse entre dos puntos cualesquiera sobre la misma línea de corriente de flujo estacionario e incompresible como:
La ecuación de Bernoulli se obtiene a partir de la conservación de la cantidad de movimiento para una partícula de fluido que se desplaza a lo largo de una línea de corriente.
- Para flujo no estacionario y compresible
Mientras que para el caso de un flujo en estado no estacionario y que sea compresible, la ecuación se modifica a:
Forma general de la ecuación de Bernoulli
La forma estándar de la ecuación de Bernoulli para flujo de fluido irrotacional incompresible es:
La ecuación de Bernoulli determina que la suma de la energía de flujo, la cinética y la potencial de una partícula de fluido a lo largo de una línea de corriente es constante.
