Ecuación de continuidad

Se considera un flujo arbitrario y que los tres componentes de velocidad vx(x,y,z,t), vy(x,y,z,t) y vz(x,y,z,t) no pueden ser cero, y puede depender de las tres coordenadas espaciales así como el tiempo. Podemos aplicar la ley de conservación de la masa a un pequeño elemento de volumen, un espacio fijo, a traves del cual un fluido fluye. En otras palabras esto es

Si esto se traslada a un lenguaje matemático, basta con guiarse de un esquema para realizar el balance, a demás, se tienen que considerar todos los aspectos de las coordenadas que se tienen en un sistema, es decir, el enunciado de conservación se expresa matemáticamente como

Dicha expresión matemática se basa en el análisis del siguiente esquema

Si la ecuación anterior se divide entre los incrementos (Deltas) de los vectores en x, y y z y tomando los limites de los mismos exceptuando a z el cual sera cero, podemos obtener la siguiente expresión matemática

Esta es la ecuación de continuidad, que describe la tasa de cambio en el tiempo de la densidad del fluido en un punto fijo en el espacio. Esta ecuación se puede escribir de manera más concisa usando notación vectorial de la siguiente manera:

El primer termino de la izquierda nos dice tasa de incremento de la masa por unidad de volumen. Y el termino de la derecha nos dice la tasa neta de masa adicionada por unidad de volumen por convección, el cual es llamado "divergencia de pv" algunas veces se escribe como "divpv." La divergencia del vector del flujo de masa pv tiene un significado simple es cual es la tasa neta de salida de masa por unidad de volumen. La ultima ecuación que se describió se puede escribir en componentes de la forma cartesianas, cilíndricas y esféricas. 

Ecuación de movimiento

Para derivar la ecuación de movimiento para un flujo arbitrario, nuevamente consideramos un pequeño elemento de volumen. 

Se realiza un análisis en el que  debemos permitir que el fluido se mueva a través de las seis caras del elemento de volumen. Es una ecuación vectorial con componentes en cada una de las tres direcciones de coordenadas x, y y z. Si desarrollamos la componente x de cada término del diagrama anterior; los componentes y y z pueden tratarse de manera análoga.

Primero, consideramos las tasas de flujo de la componente x del impulso hacia adentro y hacia afuera del elemento de volumen. El momento que entra y sale por los dos cualquiera de los dos mecanismos: transporte convectivo o transporte molecular, la suma del cual está descrito por el flujo de cantidad de movimiento total(fi).

Cuando se suman estas contribuciones, obtenemos la tasa neta de adición ("entrada" menos "salida") de x cantidad de movimiento para el transporte a través de las tres pares de las caras.

Luego está la fuerza externa (típicamente la fuerza gravitacional) que actúa sobre el fluido en el elemento de volumen. La componente x de esta fuerza es

Si la ecuación anterior se divide entre los incrementos (Deltas) de los vectores en x, y y, y delta z.

Utilizando una notación de vector-tensor, se tiene que para las tres ecuaciones

Cuando cada uno de los componentes de la ecuación 3.8 son multiplicados por el vector unitario en iésima dirección y luego sumados vectorialmente, obtenemos

que es el enunciado diferencial de la ley de conservación de la cantidad de movimiento.

Cuando a la ecuación 3.9 se le hacen ciertos arreglos matemáticos, los cuales son vectoriales, podemos tener la ecuación de cantidad de movimiento de la siguiente manera

Video de apoyo para la ecuación de continuidad

Video de apoyo para la ecuación de movimiento